Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 50

50. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 adalah ...

a. 3𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0

b. 3𝑥 + 4𝑦 − 35 = 0

c. 4𝑥 + 3𝑦 − 29 = 0

d. 4𝑥 + 3𝑦 + 29 = 0

e. 4𝑥 + 3𝑦 + 21 = 0

Jawaban :

pesamaan lingkaran : 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0

tegak lurus garis : 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0

cari dulu gradien dari garis yang tegak lurus

3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0

- 4y = - 3x - 8

4y = 3x + 8

y = 3/4 x + 2

m garis = m1 = 3/4

gradien garis singgung m2 :

m1 . m2 = - 1

3/4 . m2 = - 1

m2 = - 4/3

persamaan garis singgung lingkaran bentuk 𝑥^2 + 𝑦^2 + Ax + By + C = 0 dengan gradien m :

(y - b) = m (x - a) ± r √(m^2 + 1)

dengan :

a = - 1/2 A

b = - 1/2 C

r = √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C)

dalam soal ini :

𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0

A = - 4

B = 8

C = -5

a = - 1/2 (-4) = 2

b = - 1/2 (8) = - 4

r = √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C)

r = √(1/4 (-4)^2 + 1/4 (8)^2 - (-5))

r = √(1/4 . 16 + 1/4 . 64 + 5)

r = √(4 + 16 + 5)

r = √25

r = 5

persamaan garis singgung nya dengan gradien m = m2 = - 4/3

(y - b) = m (x - a) ± r √(m^2 + 1)

(y - (-4)) = - 4/3 (x - 2) ± 5 √((-4/3)^2 + 1) 

y + 4 = - 4/3 x + 8/3 ± 5 √(16/9 + 1)

y + 4 = - 4/3 x + 8/3 ± 5 . √(25/9)

y + 4 = - 4/3 x + 8/3± 5 . 5/3

y + 4 = - 4/3 x + 8/3 ± 25/3

dikalikan 3 untuk menghilangkan penyebut

3y + 12 = - 4x + 8 ± 25

3y = - 4x - 4 ± 25

untuk penjumlahan :

3y = - 4x - 4 + 25

4x + 3y - 21 = 0

untuk pengurangan :

3y = - 4x - 4 - 25

4x + 3y + 29 = 0  -- > yang ada di pilihan ganda

Jawaban : D

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 49

49. Persamaan garis singgung pada lingkaran 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0 yang sejajar dengan garis 2𝑥 + 𝑦 + 5 = 0 adalah ...

A. 2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0

B. 2𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

C. 2𝑥 + 𝑦 + 6 = 0

D. 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

E. 2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0

Jawaban :

pesamaan lingkaran : 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0

sejajar garis : 2𝑥 + 𝑦 + 5 = 0 

cari dulu gradien dari garis yang sejajar

2𝑥 + 𝑦 + 5 = 0

y = - 2x - 5

gradien m = - 2 (lihat angka di depan x)

persamaan garis singgung lingkaran bentuk 𝑥^2 + 𝑦^2 + Ax + By + C = 0 dengan gradien m :

(y - b) = m (x - a) ± r √(m^2 + 1)

dengan :

a = - 1/2 A

b = - 1/2 C

r = √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C)

dalam soal ini :

𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0

A = - 4

B = 6

C = 8

a = - 1/2 (-4) = 2

b = - 1/2 (6) = - 3

r = √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C)

r = √(1/4 (-4)^2 + 1/4 (6)^2 - 8)

r = √(1/4 . 16 + 1/4 . 36 - 8)

r = √(4 + 9 - 8)

r = √5

persamaan garis singgung nya dengan gradien m = - 2

(y - b) = m (x - a) ± r √(m^2 + 1)

(y - (-3)) = - 2 (x - 2) ± √5 √((-2)^2 + 1) 

y + 3 = - 2x + 4 ± √5 √(4+ 1)

y + 3 = - 2x + 4 ± √5 √5

y + 3 = - 2x + 4 ± 5

untuk penjumlahan :

y + 3 = - 2x + 4 + 5

y + 3 = - 2x + 9

2x + y + 3 - 9 = 0

2x + y - 6 = 0

untuk pengurangan :

y + 3 = - 2x + 4 - 5

y + 3 = - 2x - 1

2x + y + 3 + 1 = 0

2x + y + 4 = 0

Jawaban : A dan B

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 48

48. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0 di titik (3, -1) adalah ...

a. 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0

b. 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0

c. 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

d. 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

e. 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

Jawaban :

persamaan garis 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0

memiliki bentuk : 𝑥^2 + 𝑦^2 + A𝑥 + B𝑦 + C = 0

untuk bentuk persamaan tersebut, garis singgung titik (x1, y1) nya ialah :

x1 x + y1 y + 1/2 A (x1 + x) + 1/2 B (y1 + y) + C = 0

untuk soal di atas, 

𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 8 = 0

A = - 4

B = 6

C = 8

dengan titik (x1, y1) = (3 , -1)

maka garis singgungnya :

x1 x + y1 y + 1/2 A (x1 + x) + 1/2 B (y1 + y) + C = 0

3 . x + (-1) . y + 1/2 (- 4) (3 + x) + 1/2 (6) (-1 + y) + 8 = 0

3x - y + (-2) (3 + x) + (3) (- 1 + y) + 8 = 0

3x - y - 6 - 2x - 3 + 3y + 8 = 0

x + 2y - 1 = 0

Jawaban : B

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 47

47. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥^2 + 𝑦^2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ...

A. 4𝑥 + 3𝑦 − 31 = 0

B. 4𝑥 + 3𝑦 + 31 = 0

C. 3𝑥 + 4𝑦 − 31 = 0

D. 3𝑥 + 3𝑦 + 31 = 0

E. 4𝑥 − 3𝑦 + 31 = 0

Jawaban :

persamaan garis 𝑥^2 + 𝑦^2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0

memiliki bentuk : 𝑥^2 + 𝑦^2 + A𝑥 + B𝑦 + C = 0

untuk bentuk persamaan tersebut, garis singgung titik (x1, y1) nya ialah :

x1 x + y1 y + 1/2 A (x1 + x) + 1/2 B (y1 + y) + C = 0

untuk soal di atas, 

𝑥^2 + 𝑦^2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0

A = - 6

B = 4

C = - 12

dengan titik (x1, y1) = (7 , 1)

maka garis singgungnya :

x1 x + y1 y + 1/2 A (x1 + x) + 1/2 B (y1 + y) + C = 0

7 . x + 1 . y + 1/2 (-6) (7 + x) + 1/2 (4) (1 + y) - 12 = 0

7x + y + (-3) (7 + x) + 2 (1 + y) - 12 = 0

7x + y - 21 - 3x + 2 + 2y - 12 = 0

4x + 3y - 31 = 0

Jawaban : A

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 46

46. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 2)^2 + (𝑦 + 3)^2 = 5 di titik (3, -1) adalah...

a. 𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0

b. 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

c. 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0

d. 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

e. 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

Jawaban :

persamaan lingkaran : (𝑥 − 2)^2 + (𝑦 + 3)^2 = 5

memiliki bentuk : (𝑥 − a)^2 + (𝑦 - b)^2 = r^2

persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) :

(x1 - a)(x − a) + (y1 - b)(y - b)= r^2

dalah hal ini,

(𝑥 − 2)^2 + (𝑦 + 3)^2 = 5

a = 2

b = - 3

r^2 = 5

persamaan garis singgung di titik (3, -1) menjadi :

(x1 - a)(x − a) + (y1 - b)(y - b)= r^2

(3 - 2)(x − 2) + (-1 + 3)(y +3)= 5

1 (x - 2) + (2) (y + 3) = 5

(x - 2) + 2y + 6 = 5

x + 2y + 4 = 5

x + 2y - 1 = 0

Jawaban : C

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 45

45. Dimanakah kedudukan titik C (5, -1) terhadap lingkaran dengan persamaan 𝑥^2 + 𝑦^2 = 25?

a. Di luar lingkaran

b. Di dalam lingkaran

c. Pada lingkaran

d. Di ujung lingkaran

e. Di pusat lingkaran

Jawaban :

persamaan lingkaran : 𝑥^2 + 𝑦^2 = 25

memiliki bentuk : 𝑥^2 + 𝑦^2 = r^2

untuk mengecek kedudukan suatu titik, syaratnya :

𝑥^2 + 𝑦^2 = r^2 ; artinya titik terletak pada lingkaran

𝑥^2 + 𝑦^2 < r^2 ; artinya titik terletak di dalam lingkaran

𝑥^2 + 𝑦^2 > r^2 ; artinya titik terletak di luar lingkaran

untuk titik C (5, -1), kita cek terlebih dahulu

𝑥^2 + 𝑦^2 ? 25

(5)^2 + (-1)^2 ? 25

25 + 1 ? 25

26 > 25 ; artinya titik C terletak di luar lingkaran

Jawaban : A

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 44

44. Dimanakah kedudukan titik B (4, -3) terhadap lingkaran dengan persamaan 𝑥^2 + 𝑦^2 = 25?

a. Di luar lingkaran

b. Di dalam lingkaran

c. Pada lingkaran

d. Di ujung lingkaran

e. Di pusat lingkaran

Jawaban :

persamaan lingkaran : 𝑥^2 + 𝑦^2 = 25

memiliki bentuk : 𝑥^2 + 𝑦^2 = r^2

untuk mengecek kedudukan suatu titik, syaratnya :

𝑥^2 + 𝑦^2 = r^2 ; artinya titik terletak pada lingkaran

𝑥^2 + 𝑦^2 < r^2 ; artinya titik terletak di dalam lingkaran

𝑥^2 + 𝑦^2 > r^2 ; artinya titik terletak di luar lingkaran

untuk titik B (4, -3), kita cek terlebih dahulu

𝑥^2 + 𝑦^2 ? 25

(4)^2 + (-3)^2 ? 25

16 + 9 ? 25

25 = 25 ; artinya titik B terletak pada lingkaran

Jawaban : C

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 43

43. Dimanakah kedudukan titik A (-2, 4) terhadap lingkaran dengan persamaan 𝑥^2 + 𝑦^2 = 25?

a. Di luar lingkaran

b. Di dalam lingkaran

c. Pada lingkaran

d. Di ujung lingkaran

e. Di pusat lingkaran

Jawaban :

persamaan lingkaran : 𝑥^2 + 𝑦^2 = 25

memiliki bentuk : 𝑥^2 + 𝑦^2 = r^2

untuk mengecek kedudukan suatu titik, syaratnya :

𝑥^2 + 𝑦^2 = r^2 ; artinya titik terletak pada lingkaran

𝑥^2 + 𝑦^2 < r^2 ; artinya titik terletak di dalam lingkaran

𝑥^2 + 𝑦^2 > r^2 ; artinya titik terletak di luar lingkaran

untuk titik A (- 2, 4), kita cek terlebih dahulu

𝑥^2 + 𝑦^2 ? 25

(-2)^2 + (4)^2 ? 25

4 + 16 ? 25

20 < 25 ; artinya titik A terletak di dalam lingkaran

Jawaban : B

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 42

42. Panjang jari-jari lingkaran dari persamaan 𝑥^2 + 𝑦^2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0 adalah ... satuan

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

Jawaban :

𝑥^2 + 𝑦^2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0

untuk persamaan lingkaran dengan bentuk 𝑥^2 + 𝑦^2 + A𝑥 + B𝑦 + C = 0

memiliki jari-jari lingkaran :

r = √ ((-1/2A)^2 + (-1/2B)^2 - C)

dalam soal ini, 

𝑥^2 + 𝑦^2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0

A = - 2

B = 4

C = -20

maka, 

r = √ ((-1/2A)^2 + (-1/2B)^2 - C)

r = √ ((-1/2(-2))^2 + (-1/2(4))^2 - (-20))

r = √ ((1)^2 + (-2)^2 +20)

r = √ (1 + 4 +20)

r = √ 25

r = 5

Jawaban : E

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 41

41. Titik pusat lingkaran dari persamaan 𝑥^2 + 𝑦^2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0 adalah ...

a. (-1, -2)

b. (-2, -1)

c. (-1, 2)

d. (1, -2)

e. (2, -1)

Jawaban :

bentuk persamaan : 𝑥^2 + 𝑦^2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0

untuk persamaan lingkaran dengan bentuk 𝑥^2 + 𝑦^2 + A𝑥 + B𝑦 + C = 0

memiliki titik pusat : ( - 1/2 A, - 1/2 B)

maka dalam soal ini

𝑥^2 + 𝑦^2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0

A = - 2

B = 4

titik pusat :

( - 1/2 A, - 1/2 B)

= (- 1/2 . (-2) , -1/2 (4) )

= ( 1 , - 2)

Jawaban : D

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 40

40. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P (2,3) dan berjari-jari 4 adalah ...

a. 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0

b. 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0

c. 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0

d. 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0

e. 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 27 = 0

Jawaban :

pusat di titik P (2,3)

jari jari r = 4

persamaan lingkaran di titik pusat (a,b) dengan jari jari r :

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

maka, persamaan lingkarannya menjadi :

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2

x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 16

x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 16

x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - 16 = 0

x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0

Jawaban : D

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 39

39. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan melalui titik (-3,4)!

A. 𝑥^2 + 𝑦^2 = 25

B. 𝑥^2 + 𝑦^2 = 5

C. 𝑥^2 + 𝑦^2 = 9

D. 𝑥^2 + 𝑦^2 = 16

E. 𝑥^2 + 𝑦^2 = 10

Jawaban :

titik pusat O (0,0)

melalui titik (-3,4)

persamaan lingkaran di titik pusat :

x^2 + y^2 = r^2

maka perlu dicari r atau jari jari terlebih dahulu...

Karena lingkaran tersebut melewati titik (-3, 4) maka titik tersebut memenuhi persamaan

x^2 + y^2 = r^2

(-3)^2 + (4)^2 = r^2

9 + 16 = r^2

25 = r^2

r = √25

r = 5

maka, persamaan lingkaran :

𝑥^2 + 𝑦^2 = r^2

𝑥^2 + 𝑦^2 = 5^2

𝑥^2 + 𝑦^2 = 25

Jawaban : A

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 38

38. Jika 𝑔(𝑥) = (7𝑥 +5) / (3𝑥 − 4), maka 𝑔 ⁻¹(𝑥)=...

a. (4𝑥 + 5) / (3𝑥 − 7)

b. (7𝑥 + 5) / (3𝑥 + 4)

c. (5𝑥 + 7) / (4𝑥 − 3)

d. (7𝑥 + 4) / (3𝑥 − 5)

e. (7𝑥 + 4) / (3𝑥 + 5)

Jawaban :

𝑔(𝑥) = (7𝑥 +5) / (3𝑥 − 4)

memiliki bentuk (ax + b) / (cx + d)

yang memiliki bentuk inversnya : ( -dx + b) / (cx - a)

dalam hal ini, 

a = 7

b = 5

c = 3

d = - 4

sehingga, fungsi inversnya menjadi :

𝑔 ⁻¹(𝑥) = (4x + 5) / (3x - 7)

Jawaban : A

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 37

37. Diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5. Rumus (𝑓 𝑜 𝑔)⁻¹(𝑥) =

a. (𝑥 + 10) / 6

b. (𝑥 + 12) / 6

c. (𝑥 + 13) / 6

d. (𝑥 + 14) / 6

e. (𝑥 + 15) / 6

Jawaban :

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1

𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = f ( g(x))

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = f (2x - 5)

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 3(2x - 5) + 1

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 6x - 15 + 1

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 6x - 14

(𝑓 𝑜 𝑔)⁻¹(𝑥) = ?

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 6x - 14

y = 6x - 14

6x = y + 14

x = (y + 14) / 6

f ⁻¹(y) = (y + 14) / 6

f ⁻¹(x) = (x + 14) / 6

Jawaban : D

Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 36

36. Jika 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 4) / (𝑥 − 3), maka 𝑓 ⁻¹(𝑥)=...

a. (2𝑥 − 4) / (𝑥 + 3)

b. (−2𝑥 + 4) / (𝑥 + 3)

c. (3𝑥 + 4) / (𝑥 − 2)

d. (3𝑥 − 4) / (𝑥 + 2)

e. (2𝑥 + 4) / (𝑥 − 3)

Jawaban :

𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 4) / (𝑥 − 3)

f(x) berbentuk : (ax + b) / (cx + d)

untuk mencari fungsi inversnya, terdapat cara cepatnya yaitu :

𝑓 ⁻¹(x) = (- dx + b) / (cx - a)

dalam soal ini, 

a = 2

b = 4

c = 1

d = - 3

𝑓 ⁻¹(x) = (3x + 4) / (x - 2)

Jawaban : C