Kisi Kisi PAT Matematika Kelas XI no 50

50. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 adalah ...

a. 3𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0

b. 3𝑥 + 4𝑦 − 35 = 0

c. 4𝑥 + 3𝑦 − 29 = 0

d. 4𝑥 + 3𝑦 + 29 = 0

e. 4𝑥 + 3𝑦 + 21 = 0

Jawaban :

pesamaan lingkaran : 𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0

tegak lurus garis : 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0

cari dulu gradien dari garis yang tegak lurus

3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0

- 4y = - 3x - 8

4y = 3x + 8

y = 3/4 x + 2

m garis = m1 = 3/4

gradien garis singgung m2 :

m1 . m2 = - 1

3/4 . m2 = - 1

m2 = - 4/3

persamaan garis singgung lingkaran bentuk 𝑥^2 + 𝑦^2 + Ax + By + C = 0 dengan gradien m :

(y - b) = m (x - a) ± r √(m^2 + 1)

dengan :

a = - 1/2 A

b = - 1/2 C

r = √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C)

dalam soal ini :

𝑥^2 + 𝑦^2 − 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0

A = - 4

B = 8

C = -5

a = - 1/2 (-4) = 2

b = - 1/2 (8) = - 4

r = √(1/4 A^2 + 1/4 B^2 - C)

r = √(1/4 (-4)^2 + 1/4 (8)^2 - (-5))

r = √(1/4 . 16 + 1/4 . 64 + 5)

r = √(4 + 16 + 5)

r = √25

r = 5

persamaan garis singgung nya dengan gradien m = m2 = - 4/3

(y - b) = m (x - a) ± r √(m^2 + 1)

(y - (-4)) = - 4/3 (x - 2) ± 5 √((-4/3)^2 + 1) 

y + 4 = - 4/3 x + 8/3 ± 5 √(16/9 + 1)

y + 4 = - 4/3 x + 8/3 ± 5 . √(25/9)

y + 4 = - 4/3 x + 8/3± 5 . 5/3

y + 4 = - 4/3 x + 8/3 ± 25/3

dikalikan 3 untuk menghilangkan penyebut

3y + 12 = - 4x + 8 ± 25

3y = - 4x - 4 ± 25

untuk penjumlahan :

3y = - 4x - 4 + 25

4x + 3y - 21 = 0

untuk pengurangan :

3y = - 4x - 4 - 25

4x + 3y + 29 = 0  -- > yang ada di pilihan ganda

Jawaban : D