6. Abdul dan Susanti berencana setelah mereka menikah menginginkan 3 anak
Berapa banyak kemungkinan mereka mendapat :
a. 2 putra dan 1putri
b. Paling sedikit 2 putri
Jawaban :
L = putra
P = putri
kemungkinan urutan 3 anak :
PPP, PPL, PLL, PLP, LLL, LLP, LPP, LPL
banyak kemungkinan mereka mendapat
a. 2 putra dan 1 putri
LLP , LPL , PLL
3 kemungkinan
b. paling sedikit 2 putri :
PPL, PLP, LPP , PPP
4 kemungkinan
5. Hitunglah :
a. C(15,8) + C(15,9) – C (15,7) – C (15,6)
b. 6 P (n +1 ,3 ) = 7 P (n , 3 ),tentukan nilai n
c. C (n , 2 ) = C (100,98 ),tentukan n .
Jawaban :
a. C(15,8) + C(15,9) – C (15,7) – C (15,6)
= 15!/8!7! + 15!/9!6! - 15!/7!8! - 15!/6!9!
= 15!/8!7! - 15!/7!8! + 15!/9!6! - 15!/6!9!
= 0
b. 6 P (n +1 ,3 ) = 7 P (n , 3 ), tentukan nilai n
6 . (n+1)P3 = 7 . nP3
6 . (n + 1)! / (n + 1 - 3)! = 7 . n! / (n - 3)!
6 . (n + 1)! / (n - 2)! = 7 . n! / (n - 3)!
6 . (n + 1)! . (n - 3)! = 7 . n! . (n - 2)!
6 . (n + 1) . n! . (n - 3)! = 7 . n! . (n - 2) .(n - 3)!
6 . (n + 1) . = 7 . (n - 2)
6n - 7n = - 14 - 6
- n = - 20
n = 20
c. C (n , 2 ) = C (100,98 ),tentukan n
nC2 = 100C98
n . (n - 1) / 2! = 100 . 99 / 2!
n . (n - 1) = 100 . 99
n^2 - n = 9900
n^2 - n - 9900 = 0
(n - 100)(n + 99) = 0
n = 100 atau n = - 99
karena nilai n > 0 , maka n yang dipilih ialah n = 100
4. Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus. Banyak cara pengambilan :
a. sedikitnya terdapat 2 bola putih
b. terambilnya 3 bola yang berwarna sama
Jawaban :
bola merah : 6
bola putih : 4
akan diambil 3 bola sekaligus
banyak cara pengambilan :
a. sedikitnya terdapat 2 bola putih.
4C2 x 6C1
= 4!/(2!2!) x 6!/(5!1!)
= (4 . 3 . 2!)/(2!2!) x (6 . 5!)/5!
= 12/2! x 6
= 12/2 x 6
= 6 x 6
= 36
untuk kejadian 3 bola putih :
4C3
= 4!/(3!1!)
= 4 . 3! / 3!
= 4
jadi total kejadian sedikitnya terdapat 2 bola putih :
36 + 4
= 40
b. terambilnya 3 bola yang berwarna sama
6C3
= 6!/(3!3!)
= 6 . 5 . 4 . 3! / (3! 3!)
= 6 . 5 . 4 / 3!
= 120 / (3 . 2)
= 120 / 6
= 20
untuk kejadian 3 bola putih :
4C3
= 4!/(3!1!)
= 4 . 3! / 3!
= 4
jadi total kejadian pengambilan 3 bola dengan warna sama :
20 + 4
= 24
3. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibuat bilangan tiga angka berlainan antara 400 dan 750 Banyak bilangan yang dapat dibuat adalah…
Jawaban :
angka yang tersedia :
2 , 3 , 5, 6, 7, dan 9
akan dibuat tiga angka berlainan antara 400 dan 750, untuk menghitung banyak bilangan yang dibuat, akan dipecah menjadi :
untuk bagian > 400 dan < 500
2. Dari bandung Azmi ke Purwakarta bisa melewati 4 pintu toll yang berbeda dan dari Purwakarta bisa melewati 3 jalur yang berbeda kearah jakarta .Berapa banyak cara dia kembali lagi ke bandung dan melewati Purwakarta jika ia tidak menggunakan jalan yang sama lebih dari satu kali ?
Jawaban :
RUTE PERGI AZMI
BANDUNG ---- 4 toll (pilih 1) ---- PURWAKARTA ---- 3 jalur (pilih 1) ---- JAKARTA
RUTE PULANG AZMI
JAKARTA ---- 2 jalur (karena 1 jalur telah digunakan waktu pergi) --- PURWAKARTA ---- 3 toll (karena 1 toll telah digunakan waktu pergi) ---- BANDUNG
Maka, banyak cara dia kembali lagi ke bandung (lihat rute pulang azmi) :
= 2 x 3
= 6 cara
1. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Apabila calon ketua kelas ada 6 orang, calon sekretaris ada 4 orang, dan calon bendahara ada 3 orang, ada berapa susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk ?
Jawaban :
calon ketua kelas = 6 orang
calon sekretaris = 4 orang
calon bendahara = 3 orang
susunan pengurus yang mungkin terbentuk :
6C1 . 4C1 . 3C1
= 6!/5!1! . 4!/3!1! . 3!/2!1!
= 6/1 . 4/1 . 3/1
= 6 . 4 . 3
= 72 susunan
6. Jika dari 20 butir telur ayam tenyata 5 butir telur adalah busuk .
a. berapa banyak cara mengambil 2 butir telur dalam kondisi baik
b. berapa banyak cara mengambil jika 3 telur yang baik dan 3 telur yang busuk
Jawaban :
dari 20 butir telur :
telur busuk = 5 butir
telur kondisi baik = 15 butir
a. banyak cara mengambil 2 butir telur kondisi baik
15C2
= 15! / (13! 2!)
= 15 . 14 .13! / (13! 2!)
= 15 . 14 / 2!
= 15 . 14 / 2
= 15 . 7
= 105 cara
b. banyak cara mengambil jika 3 telur yang baik dan 3 telur yang busuk
15C3 x 5C3
= 15!/(12!3!) x 5!/(2!3!)
= 15 . 14 . 13 . 12! / (12! 3!) x (5 .4 3! / 2! 3!)
= 15 . 14 . 13 / 3! x (5 . 4 / 2!)
= 15 . 14 . 13 / (3 . 2) x (20 / 2)
= 5 . 7 . 13 x 10
= 455 x 10
= 4550 cara
5. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola biru. Tiga bola diambil dari kotak tersebut.
a. berapa banyak cara terambil 3 bola berwarna sama?
b. berapa banyak cara terambil paling sedikit satu bola merah .
Jawaban :
isi kotak :
bola merah = 5
bola putih = 4
bola biru = 3
3 bola diambil secara acak
a. banyak cara terambil 3 bola warna sama :
bola semua merah + bola semua putih + bola semua biru
= 5C3 + 4C3 + 3C3
= 5!/(3!2!) + 4!/(3!1!) + 3!/(3!0!)
= 5 . 4 . 3! / (3!2!) + (4 . 3!)/3! + 3!/3!
= 20/2 + 4/1 + 1
= 10 + 4 + 1
= 15
b. banyak cara terambil paling sedikit satu bola merah
total bola = 5 + 4 + 3 = 12
bola merah = 5
bola selain warna merah = 12 - 5 = 7
dari 3 bola yang diambil, akan dihitung banyak cara :
banyak cara untuk kejadian 1 bola merah + 2 bola warna lain :
5C1 x 7C2
= 5!/(1!4!) x 7!/(5!2!)
= 5 x (7 . 6 . 5! /5!2!)
= 5 x (42 / 2!)
= 5 x (42 / 2)
= 5 x 21
= 105
banyak cara untuk kejadian 2 bola merah + 1 bola warna lain
5C2 x 7C1
= 5!/(2!3!) x 7!/(6!1!)
= (5 . 4 . 3! / 2!3!) x 7
= (20 / 2!) x 7
= 20/2 x 7
= 10 x 7
= 70
banyak cara untuk kejadian 3 bola merah semuanya
5C3
= 5!/(3!2!)
= 5 . 4 . 3! / (3!2!)
= 20 / 2!
= 10
jadi banyak cara terambil paling sedikit satu bola merah :
105 + 70 + 10
= 185 cara
4. Diadakan rapat pembentukan panitia perpisahan yang dihadiri pengurus inti sebanyak 7 orang, mereka duduk mengelilingi meja .Ketua dan sekretaris selalu duduk berdampingan. Berapa banyak cara posisi duduk mereka ?
Jawaban :
terdapat 7 orang, ingin duduk melingkar dengan syarat KETUA dan SEKRETARIS selalu duduk berdampingan. Maka ketua dan sekretaris akan dihitung menjadi 1 entitas. sehingga, saat ini n = 6
untuk menghitung banyak cara posisi duduk melingkar, maka menggunakan permutasi siklis :
Psiklis = (n - 1)!
Psiklis = (6 - 1)!
Psiklis = 5!
Psiklis = 5 . 4 . 3 . 2 . 1
Psiklis = 120
banyak cara urutan ketua dan sekretaris duduk = 2!
maka bila digabungkan dengan posisi melingkar secara keseluruhan :
Psiklis x banyak cara ketua dan sekretaris duduk
= 120 . 2!
= 120 . 2
= 240
3. Hitunglah :
a. 1/(6 ! )+ 2/(8 !)- 3/(9 !) = . . .
b. C(n,2 ) = 105 ,tentukan nilai n
c. 10 P(n,4) = P(n,5) ,tentukan nilai n
Jawaban :
a. 1/(6 ! )+ 2/(8 !)- 3/(9 !)
= 1/6! + 2/(8 . 7 . 6!) - 3/(9 . 8 . 7 . 6!)
= (9 . 8 . 7)/(9 . 8 . 7 . 6!) + (2 . 9)/(9 . 8 . 7 . 6!) - 3/(9 . 8 . 7 . 6!)
= ((9 . 8 . 7)+ (2 . 9) - 3) /(9 . 8 . 7 . 6!)
= 519 / (9 . 8 . 7 . 6!)
= 519/9!
= 519/362880
b. C(n,2 ) = 105 ,tentukan nilai n
nC2 = 105
n!/2!(n - 2)! = 105
n . (n - 1) . (n - 2)! / (2 . (n - 2)!) = 105
n . (n - 1) / 2 = 105
n . (n - 1) = 210
n^2 - n = 210
n^2 - n - 210 = 0
(n - 15)(n + 14) = 0
n = 15 atau n = 14
karena n > 0, maka n yang dipilih : n = 15
c. 10 P(n,4) = P(n,5) ,tentukan nilai n
10 . nP4 = nP5
10 . n! / (n - 4)! = n! / (n - 5!)
10 / (n - 4)! = 1/ (n - 5)!
10 . (n - 5)! = (n - 4) !
10 . (n - 5)! = (n - 4) . (n - 5) !
10 = n - 4
10 + 4 = n
n = 14
2. Seleksi untuk mengikuti Olimpiade Matematika dari SMA Negeri 5 Bandung terpilih 8 siswa putra dan 6 siswa putri.
Berapa banyak cara memilih siswa untuk mengikuti seleksi jika siswa yang boleh ikut ada 3 siswa putra dan 2 putri ?
Jawaban :
yang dapat mengikuti seleksi
putra : 8 siswa ; akan dipilih 3
putri : 6 siswa ; akan dipilih 2
Banyak cara memilih :
8C3 x 6C2 = 8!/3!5! . 6!/2!4!
8C3 x 6C2 = (8 . 7 . 6 . 5! / 3!5!) x (6 . 5 . 4!/2!4!)
8C3 x 6C2 = (8 . 7 . 6 / 3 . 2) x (6 . 5 / 2)
8C3 x 6C2 = 56 x 15
8C3 x 6C2 = 840 cara
1. Sebuah plat nomor mobil di suatu daerah terdiri dari empat angka, dan diakhiri dua huruf. Jika disyaratkan tidak boleh ada huruf yang sama dan tidak ada angka yang sama, maka ada berapa plat nomor yang bisa dibuat?
Jawaban :
plat nomor : 4 angka, 2 huruf
syarat : tidak boleh ada huruf dan angka yang sama, maka banyaknya plat nomor yang bisa dibuat :
angka yang mungkin digunakan : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
angka pertama : tidak boleh 0, jadi banyaknya angka yang bisa di posisi pertama = 9 ( 1 - 9)
angka kedua : boleh angka 0, dan 1 angka telah digunakan di angka pertama sehingga banyaknya angka yang bisa di posisi kedua = 9 (0 - 9, dikurangi 1 angka yang sudah digunakan)
angka ketiga : 2 angka telah digunakan di posisi pertama dan kedua, sehingga banyaknya angka yang bisa ditempatkan di posisi ketiga = 8
angka keempat : 3 angka telah digunakan di posisi pertama, kedua dan ketiga, sehingga banyaknya angka yang bisa ditempatkan di posisi keempat = 7
huruf yang mungkin digunakan = A - Z (26)
huruf pertama : 26
huruf kedua : 25 (1 huruf telah digunakan di huruf pertama)
jadi total plat nomor yang bisa dibuat :
9 x 9 x 8 x 7 x 26 x 25
= 2948400
6. Dari angka 1 8 9 2 3 4 5 4 2 2 1 .Tentukan banyak cara menyusun angka tersebut !
Jawaban :
terdapat 11 angka
maka banyak cara menyusun angka tersebut :
11!
= 11 . 10 . 9 . 8 .7 . 6 . 5 .4 . 3 . 2 . 1
= 39916800
5. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola biru. Berapa banyak cara :
a. terambil 3 bola berwarna sama?
b. 2 merah dan 2 putih
Jawaban :
a. terambil 3 bola berwarna sama :
bola merah :
5C3 = 5! / (3! (5-3)!)
5C3 = 5! / 3! 2!
5C3 = 5 . 4 . 3! / (3! . 2!)
5C3 = 20 / 2!
5C3 = 20 / 2
5C3 = 10
bola putih :
4C3 = 4! / (3! (4-3)!)
4C3 = 4! / 3! 1!
4C3 = 4 . 3! / 3!
4C3 = 4
bola biru :
3C3 = 3!/(3!0!)
3C3 = 1
maka banyak cara agar terambil 3 bola warna sama :
10 + 4 + 1 = 15 cara
b. 2 merah dan 2 putih
bola merah :
5C2 = 5! / (2! (5-2)!)
5C2 = 5! / 2! 3!
5C2 = 5 . 4 . 3! / 2! 3!
5C2 = 20 / 2!
5C2 = 20 / 2
5C2 = 10
bola putih :
4C2 = 4! / (2! (4 - 2)!
4C2 = 4! / 2! 2!
4C2 = 4 . 3 . 2! / 2!2!
4C2 = 12 / 2!
4C2 = 12 / 2
4C2 = 6
maka banyak cara terambil 2 merah dan 2 putih :
10 x 6 = 60 cara
4. Seorang kandidat presiden hanya dapat mengunjungi enam provinsi dari sepuluh provinsi yang ingin dikunjunginya. Berapa banyak cara dengan urutan berbeda, ia dapat mengunjungi provinsi-provinsi itu?
Jawaban :
dari 10 provinsi, hanya 6 yang akan dikunjungu.
banyak susunan kunjungan dengan urutan yang berbeda - beda ? menggunakan permutasi
10P6 = 10! / (10 - 6)!
10P6 = 10! / 4!
10P6 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6. 5 .4! / 4!
10P6 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5
10P6 = 151200 cara yang dapat dilakukan untuk mengunjungi provinsi provinsi tersebut dengan urutan yang berbeda
3. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Apabila calon ketua kelas ada 6 orang, calon sekretaris ada 4 orang, dan calon bendahara ada 3 orang, ada berapa susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk ?
Jawaban :
yang akan dipilih
1 ketua kelas ; 6 calon
1 sekretaris ; 4 calon
1 bendahara ; 3 calon
susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk = 6 x 4 x 3 = 72 susunan
2. Hitunglah :
a. 1/(3 !)+2/(4 )-3/(5 !) = . . .
b. Tentukan nilai n, jika C(n ,2 ) = 15
c. jika P (n,4) = 30 C(n,5)
Jawaban :
a.
1/(3 !) + 2/(4!) - 3/(5!)
1. Dua dadu bermata enam yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hitung:
a. Banyaknya pasangan mata dadu yang berjumlah 10.
b. Banyaknya pasangan mata dadu yang jumlahnya paling sedikit 9
Jawaban :
tabel dua dadu
a. banyaknya pasangan mata dadu yang berjumlah 10 :
yang berjumlah 10 adalah (4,6), (5,5) , (6,6). Sehingga banyaknya pasangan mata dadu berjumlah 10 = 3
b. banyaknya pasangan mata dadu yang jumlahnya paling sedikit 9
7. Berapa banyak anggota kartu domino dan sebutkan anggotanya
Jawaban :
banyak anggota kartu domino = 28
dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi, karena domino terdiri dari 2 angka, dengan ragam angka mulai dari 0,1,2,3,4,5,6, maka banyaknya pasangan yang dapat terbentuk :
7C2 = 7! / (2!(7 - 2)!
7C2 = 7! / 2!5!
7C2 = 7 . 6 . 5! / 2!5!
7C2 = 7 . 6 / 2!
7C2 = 7 . 6 / 2
7C2 = 42 /2
7C2 = 21
namun domino dapat disusun dari 2 angka yang sama, maka terdapat 7 pasang angka kembar (0/0 , 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5 , 6/6)
maka total kartu domino = 21 + 7 = 28 kartu
dengan anggotanya sebagai berikut :
0/0
0/1
0/2
0/3
0/4
0/5
0/6
1/1
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
2/2
2/3
2/4
2/5
2/6
3/3
3/4
3/5
3/6
4/4
4/5
4/6
5/5
5/6
6/6
6. Jika ujian Remidial Matematika disediakan 15 nomor ,siswa wajib mengerjakan nomor ganjil syarat siswa lulus kkm adalah jika mengerjakan 10 nomor. Berapa banyak cara siswa memilih nomor soal yang harus dikerjakan ?
Jawaban :
seluruh soal = 15 soal
syarat wajib jawab nomor ganjil : 1,3,5,7,9,11,13, 15 = 8 soal
total soal yang harus dikerjakan : 10 soal
sehingga,
soal lain yang dapat dipilih untuk melengkapi syarat adalah 10 - 8 = 2 soal pilihan
banyak cara siswa memilih nomor soal ?
dapat dihitung menggunakan kombinasi karena tidak mementingkan urutan soal
soal yang dapat dipilih siswa adalah nomor genap : 2,4,6,8,10,12,14 = 7 soal
jadi dari 7 soal tersebut akan dipilih 2 nomor, maka :
7C2 = 7!/(2!(7 - 2)!)
7C2 = 7!/(2!5!)
7C2 = 7 . 6 . 5! / (2! 5!)
7C2 = 7 . 6 / 2!
7C2 = 42 / 2
7C2 = 21
jadi banyak cara siswa memilih nomor soal yang harus dikerjakan = 21 cara
11. A particle moves in the xy plane so that its position at any time is given by the parametric equations x(t) = t^2 - t^3 and y(t) = 9 - 6...
