Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 3 no 2

 2. Seleksi untuk mengikuti Olimpiade Matematika dari SMA Negeri 5 Bandung terpilih 8 siswa putra dan 6 siswa putri. 

Berapa banyak cara memilih  siswa untuk mengikuti seleksi jika siswa yang boleh ikut ada 3 siswa putra dan 2 putri ?

Jawaban :

yang dapat mengikuti seleksi

putra : 8 siswa ; akan dipilih 3

putri : 6 siswa ; akan dipilih 2

Banyak cara memilih :

8C3 x 6C2 = 8!/3!5!  . 6!/2!4!

8C3 x 6C2 = (8 . 7 . 6 . 5! / 3!5!) x (6 . 5 . 4!/2!4!)

8C3 x 6C2 = (8 . 7 . 6 / 3 . 2) x (6 . 5 / 2)

8C3 x 6C2 = 56 x 15

8C3 x 6C2 = 840 cara

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 3 no 1

1. Sebuah plat nomor mobil di suatu daerah terdiri dari  empat angka, dan diakhiri dua huruf. Jika disyaratkan tidak boleh ada huruf yang sama dan tidak ada angka yang sama, maka ada berapa plat nomor yang bisa dibuat?

Jawaban :

plat nomor : 4 angka, 2 huruf

syarat : tidak boleh ada huruf dan angka yang sama, maka banyaknya plat nomor yang bisa dibuat :

angka yang mungkin digunakan : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

angka pertama : tidak boleh 0, jadi banyaknya angka yang bisa di posisi pertama = 9 ( 1 - 9)

angka kedua : boleh angka 0, dan 1 angka telah digunakan di angka pertama sehingga banyaknya angka yang bisa di posisi kedua = 9 (0 - 9, dikurangi 1 angka yang sudah digunakan)

angka ketiga : 2 angka telah digunakan di posisi pertama dan kedua, sehingga banyaknya angka yang bisa ditempatkan di posisi ketiga = 8

angka keempat : 3 angka telah digunakan di posisi pertama, kedua dan ketiga, sehingga banyaknya angka yang bisa ditempatkan di posisi keempat = 7

huruf yang mungkin digunakan = A - Z (26)

huruf pertama : 26

huruf kedua : 25 (1 huruf telah digunakan di huruf pertama)

jadi total plat nomor yang bisa dibuat :

9 x 9 x 8 x 7 x 26 x 25

= 2948400

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 2 no 6

 6. Dari angka  1 8 9 2 3 4 5 4 2 2 1 .Tentukan banyak cara menyusun angka tersebut !

Jawaban :

terdapat 11 angka

maka banyak cara menyusun angka tersebut :

11!

= 11 . 10 . 9 . 8 .7 . 6 . 5 .4 . 3 . 2 . 1

= 39916800

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 2 no 5

5. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola biru.  Berapa banyak cara :

a. terambil 3 bola berwarna sama?

b. 2 merah dan 2 putih

Jawaban :

a. terambil 3 bola berwarna sama :

bola merah :

5C3 = 5! / (3! (5-3)!)

5C3 = 5! / 3! 2!

5C3 = 5 . 4 . 3! / (3! . 2!)

5C3 = 20 / 2!

5C3 = 20 / 2

5C3 = 10

bola putih :

4C3 = 4! / (3! (4-3)!)

4C3 = 4! / 3! 1!

4C3 = 4 . 3! / 3!

4C3 = 4

bola biru :

3C3 = 3!/(3!0!)

3C3 = 1

maka banyak cara agar terambil 3 bola warna sama :

10 + 4 + 1 = 15 cara

b. 2 merah dan 2 putih

bola merah :

5C2 = 5! / (2! (5-2)!)

5C2 = 5! / 2! 3!

5C2 = 5 . 4 . 3! / 2! 3!

5C2 = 20 / 2!

5C2 = 20 / 2

5C2 = 10

bola putih :

4C2 = 4! / (2! (4 - 2)!

4C2 = 4! / 2! 2!

4C2 = 4 . 3 . 2! / 2!2!

4C2 = 12 / 2!

4C2 = 12 / 2

4C2 = 6

maka banyak cara terambil 2 merah dan 2 putih :

10 x 6 = 60 cara

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 2 no 4

 4. Seorang kandidat presiden hanya dapat mengunjungi enam provinsi dari sepuluh provinsi yang ingin dikunjunginya. Berapa banyak cara dengan urutan berbeda, ia dapat mengunjungi provinsi-provinsi itu?

Jawaban :

dari 10 provinsi, hanya 6 yang akan dikunjungu.

banyak susunan kunjungan dengan urutan yang berbeda - beda ? menggunakan permutasi

10P6 = 10! / (10 - 6)!

10P6 = 10! / 4!

10P6 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6. 5 .4! / 4!

10P6 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5

10P6 = 151200 cara yang dapat dilakukan untuk mengunjungi provinsi provinsi tersebut dengan urutan yang berbeda

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 2 no 3

3. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Apabila calon ketua kelas ada 6 orang, calon sekretaris ada 4 orang, dan calon bendahara ada 3 orang, ada berapa susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk ?

Jawaban :

yang akan dipilih

1 ketua kelas ; 6 calon

1 sekretaris ; 4 calon

1 bendahara ; 3 calon

susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk = 6 x 4 x 3 = 72 susunan

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 2 no 2

2. Hitunglah :

a. 1/(3 !)+2/(4 )-3/(5 !)  =  . . .

b. Tentukan nilai n, jika  C(n ,2 ) = 15 

c.  jika P (n,4) = 30 C(n,5)

Jawaban :

a.

1/(3 !) + 2/(4!) - 3/(5!)

= 1/(3!) + 2/(4 . 3!) - 3/(5 . 4. 3!)

= 1/(3!) + 2/(4 . 3!) - 3/(20. 3!)

samakan penyebut

= 20/(20 . 3!) + (2 . 5)/(20 . 3!) - 3/(20. 3!)

= 20/(20 . 3!) + 10/(20 . 3!) - 3/(20. 3!)

= 27/(20 . 3!)

= 27 / (20 . 3 . 2 . 1)

= 9 / (20 . 2)

= 9/40

b. nilai n, jika  C(n ,2 ) = 15 

nC2 = 15

15 = n! / (2! (n-2)!)

15 = n . (n-1) . (n - 2)! / (2! (n-2)!)

15 = n . (n-1) / 2!

15 . 2! = n^2 - n

15 . 2 = n^2 - n

30 = n^2 - n

0 = n^2 - n - 30

0 = (n - 6)(n + 5)

n = 6 atau n = -5

oleh karena n > 0, maka nilai n yang dipilih adalah n = 6

c. P (n,4) = 30 C(n,5)

nP4 = 30 . nC5

n!/(n-4)! = 30 . n! /(5! (n - 5)!)

1/(n-4)! = 30 / (5! (n - 5)!)

5! (n - 5)! = 30 . (n - 4)!

5! (n - 5)! = 30 . (n - 4) . (n - 5)!

5! = 30 . (n - 4)

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 30n - 120

120 = 30n - 120

240 = 30n

n -= 8

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 2 no 1

1. Dua dadu bermata enam yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hitung:

a. Banyaknya pasangan mata dadu yang  berjumlah 10.

b. Banyaknya pasangan mata dadu yang jumlahnya paling sedikit 9

Jawaban :

tabel dua dadu

a. banyaknya pasangan mata dadu yang berjumlah 10 :

yang berjumlah 10 adalah (4,6), (5,5) , (6,6). Sehingga banyaknya pasangan mata dadu berjumlah 10 = 3 

b. banyaknya pasangan mata dadu yang jumlahnya paling sedikit 9

terdapat 10 pasangan mata dadu yang jumlahnya paling sedikit 9 (atau lebih dari sama dengan 9)

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 1 no 7

 7. Berapa banyak anggota kartu domino dan sebutkan anggotanya

Jawaban :

banyak anggota kartu domino = 28

dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi, karena domino terdiri dari 2 angka, dengan ragam angka mulai dari 0,1,2,3,4,5,6, maka banyaknya pasangan yang dapat terbentuk :

7C2 = 7! / (2!(7 - 2)!

7C2 = 7! / 2!5!

7C2 = 7 . 6 .  5! / 2!5!

7C2 = 7 . 6 / 2!

7C2 = 7 . 6 / 2

7C2 = 42 /2

7C2 = 21

namun domino dapat disusun dari 2 angka yang sama, maka terdapat 7 pasang angka kembar (0/0 , 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5 , 6/6)

maka total kartu domino = 21 + 7 = 28 kartu

dengan anggotanya sebagai berikut :

0/0

0/1

0/2

0/3

0/4

0/5

0/6

1/1

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

2/2

2/3

2/4

2/5

2/6

3/3

3/4

3/5

3/6

4/4

4/5

4/6

5/5

5/6

6/6

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 1 no 6

6. Jika ujian Remidial Matematika disediakan 15 nomor ,siswa wajib mengerjakan nomor ganjil syarat siswa lulus kkm adalah jika mengerjakan 10 nomor. Berapa banyak cara siswa memilih nomor soal yang harus dikerjakan ?

Jawaban :

seluruh soal = 15 soal

syarat wajib jawab nomor ganjil : 1,3,5,7,9,11,13, 15 = 8 soal

total soal yang harus dikerjakan : 10 soal

sehingga,

soal lain yang dapat dipilih untuk melengkapi syarat adalah 10 - 8 = 2 soal pilihan

banyak cara siswa memilih nomor soal ?

dapat dihitung menggunakan kombinasi karena tidak mementingkan urutan soal

soal yang dapat dipilih siswa adalah nomor genap : 2,4,6,8,10,12,14 = 7 soal

jadi dari 7 soal tersebut akan dipilih 2 nomor, maka :

7C2 = 7!/(2!(7 - 2)!)

7C2 = 7!/(2!5!)

7C2 = 7 . 6 . 5! / (2! 5!)

7C2 = 7 . 6 / 2!

7C2 = 42 / 2

7C2 = 21

jadi banyak cara siswa memilih nomor soal yang harus dikerjakan = 21 cara

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 1 no 5

5. Suatu tim bulu tangkis beranggotakan 5 pemain putra dan 3 pemain putri. Tentukanlah banyaknya tim:

a. ganda putra yang dapat disusun. 

b. ganda campuran yang dapat disusun.

Jawaban :

untuk mencari susunan anggota tim yang tidak mempedulikan urutan, maka perhitungan dilakukan dengan menggunakan KOMBINASI

a. ganda putra yang dapat disusun

jumlah anggota tim bulu tangkis putra = 5 pemain

ganda putra terdiri dari 2 pemain putra

maka,

5C2 = 5!/(2! (5-2)!)

5C2 = 5!/(2!3!)

5C2 = (5 . 4 . 3!) / (2! 3!)

5C2 = 5 . 4 / 2!

5C2 = 20/2

5C2 = 10

banyaknya ganda putra yang dapat disusun = 10

b. ganda campuran yang dapat disusun.

jumlah anggota tim bulu tangkis putra = 5

jumlah anggota tim bulu tangkis putri = 3

kombinasi ganda campuran yang dapat terbentuk :

5C1 x 3C1

= 5!/(1! (5 - 1)!) . 3!/(1! (3 - 1)!)

= 5!/4! . 3!/2!

= (5 . 4!)/4! . (3 . 2!)/2!

= 5 . 3

= 15

banyaknya ganda campuran yang dapat disusun = 15

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 1 no 4

 4. Dengan berapa cara 5 anak laki-laki dan 3 anak perempuan dapat disusun pada suatu lingkaran jika anak perempuan selalu berdekatan (berkumpul)?

Jawaban :

rumus untuk menyusun duduk melingkar menggunakan permutasi siklis :

P siklis = (n - 1)!

dengan nilai n adalah jumlah elemen yang terlibat, dalam hal ini adalah :

5 anak laki laki + 1 grup anak perempuan (anak perempuan dianggap 1 entitas karena 3 anak perempuan tersebut harus saling berdekatan)

maka nilai n = 6

P siklis = (6 - 1)!

P siklis = 5!

P siklis = 120

sedangkan urutan duduk anak perempuan juga beragam dan perlu diperhitungkan juga :

kemungkinan urutan duduk pertama = 3

kemungkinan urutan duduk kedua = 2 (karena 1 perempuan telah duduk di tempat pertama)

kemungkinan urutan duduk ketiga = 1 (karena 2 perempuan telah duduk di tempat pertama dan kedua)

maka banyak kemungkinan urutan duduk di dalam grup perempuan :

3 x 2 x 1 = 6

Jadi, cara 5 anak laki-laki dan 3 anak perempuan dapat disusun secara melingkar jika anak perempuan harus berdekatan ialah

120 x 6

= 720

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 1 no 3

3. Hitunglah :

a. ((5+3) !)/(5 !+3 !) =  . . .

b. Tentukan nilai n jika:  n! = 56(n – 2)!

c. (n+1)P3  = nP4, carilah nilai n 

Jawaban :

a.

((5+3)!)/(5 !+3 !) 

= 8! / (5! + 3!)

= 8! / (5 . 4 . 3! + 3!)

= 8! / (3! (5 . 4 + 1))

= 8! / (3! (21))

= 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3! / (3! 21)

= 8 . 7 . 6 . 5 . 4 / 21

= 8 . 7 . 6 . 5 . 4 / (7 . 3)

= 8 . 6 . 5 . 4 / 3

= 8 . 2 . 5 . 4 / 1

= 320

b.

n! = 56(n – 2)!

n . (n - 1) . (n - 2)! = 56(n – 2)!

n . (n - 1) = 56

n^2 - n = 56

n^2 - n - 56 = 0

(n - 8) (n + 7) = 0

n = 8 atau n = - 7

karena nilai n > 0 (positif) maka n yang dipilih adalah n = 8

c. (n+1)P3  = nP4

(n + 1)! / (n + 1 - 3)! = n! / (n -4)!

(n + 1)! / (n - 2)! = n! / (n -4)!

(n + 1) . n! / (n - 2)! = n! / (n -4)!

(n + 1) / (n - 2)! = 1 / (n -4)!

(n + 1)(n - 4)! = (n - 2)!

(n + 1)(n - 4)! = (n - 2) . (n - 3) . (n - 4)!

(n + 1) = (n - 2) . (n - 3)

(n + 1) = n^2 - 5n + 6

0 = n^2 - 5n - n + 6 - 1

0 = n^2 - 6n + 5

0 = (n - 5) (n -1)

n = 5 atau n = 1

karena syarat permutasi 0 ≤ r ≤  n, dengan r = 3 dan r = 4, maka nilai n yang memenuhi syarat tersebut adalah n = 5

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 1 no 2

2. Pada suatu konferensi yang dihadiri oleh 7 negara di Asia, bendera masing-masing negara dipasang berjajar pada halaman gedung. Berapa banyak urutan bendera berbeda yang dapat dipasang dari 7 bendera tersebut ?

Jawaban :

banyaknya urutan bendera berjajar :

kemungkinan bendera urutan pertama : 7 (semua bendera memungkinkan berada di urutan pertama)

kemungkinan bendera urutan ke-2 : 6 (karena 1 bendera telah dipasang di urutan pertama)

kemungkinan bendera urutan ke -3 : 5 (karena 2 bendera telah digunakan di 2 urutan sebelumnya)

kemungkinan bendera urutan ke -4 : 4 (karena 3 bendera telah digunakan)

kemungkinan bendera urutan ke - 5: 3 (karena 4 bendera telah digunakan)

kemungkinan bendera urutan ke - 6  : 2 (karena 5 bendera telah digunakan)

kemungkinan bendera urutan ke - 7  : 1 (karena 6 bendera telah digunakan)

maka banyak urutan bendera yang dapat disusu :

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

= 5040

Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan Kelas XII Tipe 1 no 1

 1. Dari angka 0,2,4,6,8,9 akan disusun bilangan ribuan  yang tidak boleh ada angka yang sama .Tentukan banyak menyusun angka tersebut lebih dari 6200

Jawaban :

untuk menyusun angka lebih besar dari 6200, maka akan dibagi menjadi 4 bagian perhitungan,

a. lebih dari 6200 hingga kurang dari 6210

kemungkinan bilangan ribuan : 1 (yaitu angka 6 )

kemungkinan bilangan ratusan : 1 (yaitu angka 2)

kemungkinan bilangan puluhan : 1 (yaitu angka 0)

kemungkinan bilangan satuan : 3 (hasil dari 5 - 2 ; angka yang dapat memenuhi satuan ialah 2, 4, 6, 8, 9 namun 2 angka telah digunakan pada bilangan ribuan dan ratusan, sehingga 5 - 2 = 3)

maka banyak angka : 1 x 1 x 1 x 3 = 3

b. lebih dari 6210 hingga kurang dari 6300

kemungkinan bilangan ribuan : 1 (yaitu angka 6 )

kemungkinan bilangan ratusan : 1 (yaitu angka 2)

kemungkinan bilangan puluhan : 3 (hasil dari 5 - 2; angka yang dapat memenuhi puluhan ialah 2,4,6,8,9 namun 2 angka telah digunakan pada bilangan ribuan dan ratusan, sehingga 5 - 2 = 3)

kemungkinan bilangan satuan : 3 (hasil dari 6 - 3; angka yang dapat memenuhi satuan ialah 0,2,4,6,8,9 namun 3 angka telah digunakan pada bilangan ribuan, ratusan dan puluhan, sehingga 6 - 3 = 3

maka banyak angka : 1 x 1 x 3 x 3 = 9

c. lebih dari 6300  hingga kurang dari 7000

kemungkinan bilangan ribuan : 1 (yaitu angka 6 )

kemungkinan bilangan ratusan : 4 (yaitu angka 4,6,8,9)

kemungkinan bilangan puluhan : 4 (hasil dari 6 - 2; semua angka dapat memenuhi puluhan, namun 2 angka telah digunakan, sehingga 6 - 2 = 4)

kemungkinan bilangan satuan : 3 (hasil dari 6 - 3; semua angka dapat memenuhi puluhan, namun 2 angka telah digunakan, sehingga 6 - 3 = 3)

maka banyak angka : 1 x 4 x 4 x 3 = 48

d. lebih dari 7000

kemungkinan bilangan ribuan : 2 (yaitu angka 8,9 )

kemungkinan bilangan ratusan : 5 (hasil dari 6 - 1; semua angka dapat memenuhi ratusan, namun 1 angka telah digunakan pada ribuan sehingga 6 - 1)

kemungkinan bilangan puluhan : 4 (hasil dari 6 - 2; semua angka dapat memenuhi puluhan, namun 2 angka telah digunakan, sehingga 6 - 2 = 4)

kemungkinan bilangan satuan : 3 (hasil dari 6 - 3; semua angka dapat memenuhi puluhan, namun 2 angka telah digunakan, sehingga 6 - 3 = 3)

maka banyak angka : 2 x 5 x 4 x 3 = 120

Sehingga total banyak angka yang lebih dari 6200 adalah :

3 + 9 + 48 + 120 = 180