5. Diketahui titik 𝑃′(3,−13) adalah bayangan dari titik P oleh translasi T (-10, 7). Koordinat titik P adalah ...
a. (13, -20)
b. (13, -4)
c. (4, 20)
d. (-5, -4)
e. (-5, -20)
Jawaban :
P (x, y ) -- translasi T (- 10, 7) -- > P' (3, - 13)
x + a = x'
x + (-10) = 3
x - 10 = 3
x = 3 + 10
x = 13
y + b = y'
y + 7 = - 13
y = - 13 - 7
y = - 20
maka nilai P (x, y) = (13, - 20)
Jawaban : A
4. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥^2 + 𝑥 − 3 = 0, maka nilai 2𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑎 adalah ...
a. 10
b. 9
c. 7
d. 6
e. 4
Jawaban :
𝑥^2 + 𝑥 − 3 = 0
A = 1 (bilangan di depan x^2)
B = 1 (bilangan di depan x)
C = - 3 (konstanta)
akar - akar dari persamaan di atas adalah a dan b,
dimana :
a + b = - B/ A
a + b = - 1/1
a + b = -1
a . b = C / A
a . b = (-3) / 1
a . b = - 3
yang ditanya : 2𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑎
2𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑎
= a^2 + a^2 + b^2 + a
= (a^2 + a) + (a^2 + b^2) ... (i)
cari a^2 + a ?
kembali lagi ke soalnya, diketahui persamaan :
𝑥^2 + 𝑥 − 3 = 0
𝑥^2 + 𝑥 = 3
Jika a adalah salah satu akarnya, maka bila x diganti dengan a, maka persamaan tersebut akan terpenuhi
𝑥^2 + 𝑥 = 3
cari a^2 + b^2 ?
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
(-1)^2 = a^2 + b^2 + 2 . (-3)
1 = a^2 + b^2 - 6
1 + 6 = a^2 + b^2
7 = a^2 + b^2
a^2 + b^2 = 7 ... (iii)
masukkan angka yang sudah dicari pada persamaan (ii) dan (iii) ke dalam persamaan (i)
(a^2 + a) + (a^2 + b^2)
= 3 + 7
= 10
maka nilai dari 2𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑎 = 10
Jawaban : A
3. Diketahui 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar akar persamaan kuadrat 𝑥^2 − 4𝑥 − 5 = 0. Nilai dari 𝑥1^2+𝑥2^2 adalah ...
a. 24
b. 26
c. 28
d. 30
e. 32
Jawaban :
𝑥^2 − 4𝑥 − 5 = 0
a = 1 (bilangan di depan x^2)
b = - 4 (bilangan di depan x)
c = - 5
memiliki akar persamaan 𝑥1 dan 𝑥2
syarat :
𝑥1 + 𝑥2 = - b/a
𝑥1 + 𝑥2 = - (-4)/1
𝑥1 + 𝑥2 = 4
𝑥1 . 𝑥2 = c/a
𝑥1 . 𝑥2 = (- 5)/1
𝑥1 . 𝑥2 = - 5
yang ditanya : 𝑥1^2+𝑥2^2
2. Diketahui akar akar persamaan 𝑥^2 + 4𝑥 − 12 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Hasil dari 𝑥1+𝑥2 adalah ...
a. 3
b. - 4
c. 5
d. - 3
e. 4
Jawaban :
𝑥^2 + 4𝑥 − 12 = 0
a = 1 (bilangan di depan x^2)
b = 4 (bilangan di depan x)
c = -12 (konstanta)
memiliki akar akar persamaan 𝑥1 dan 𝑥2, yang syaratnya ialah :
𝑥1 + 𝑥2 = - b/a
𝑥1 + 𝑥2 = - 4/1
𝑥1 + 𝑥2 = - 4
1. Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat 𝑥^2 − 6𝑥 + 𝑏 = 0 adalah 3. Maka, nilai b yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah ...
a. -9
b. 9
c. 8
d. -8
e. 3
Jawaban :
𝑥^2 − 6𝑥 + 𝑏 = 0
salah satu akar dari persamaan tersebut adalah 3. Artinya, bila x = 3, maka persamaan tersebut terpenuhi.
𝑥^2 − 6𝑥 + 𝑏 = 0
3^2 - 6(3) + b = 0
- 9 + b = 0
b = 9
Jawaban : B
6. Abdul dan Susanti berencana setelah mereka menikah menginginkan 3 anak
Berapa banyak kemungkinan mereka mendapat :
a. 2 putra dan 1putri
b. Paling sedikit 2 putri
Jawaban :
L = putra
P = putri
kemungkinan urutan 3 anak :
PPP, PPL, PLL, PLP, LLL, LLP, LPP, LPL
banyak kemungkinan mereka mendapat
a. 2 putra dan 1 putri
LLP , LPL , PLL
3 kemungkinan
b. paling sedikit 2 putri :
PPL, PLP, LPP , PPP
4 kemungkinan
5. Hitunglah :
a. C(15,8) + C(15,9) – C (15,7) – C (15,6)
b. 6 P (n +1 ,3 ) = 7 P (n , 3 ),tentukan nilai n
c. C (n , 2 ) = C (100,98 ),tentukan n .
Jawaban :
a. C(15,8) + C(15,9) – C (15,7) – C (15,6)
= 15!/8!7! + 15!/9!6! - 15!/7!8! - 15!/6!9!
= 15!/8!7! - 15!/7!8! + 15!/9!6! - 15!/6!9!
= 0
b. 6 P (n +1 ,3 ) = 7 P (n , 3 ), tentukan nilai n
6 . (n+1)P3 = 7 . nP3
6 . (n + 1)! / (n + 1 - 3)! = 7 . n! / (n - 3)!
6 . (n + 1)! / (n - 2)! = 7 . n! / (n - 3)!
6 . (n + 1)! . (n - 3)! = 7 . n! . (n - 2)!
6 . (n + 1) . n! . (n - 3)! = 7 . n! . (n - 2) .(n - 3)!
6 . (n + 1) . = 7 . (n - 2)
6n - 7n = - 14 - 6
- n = - 20
n = 20
c. C (n , 2 ) = C (100,98 ),tentukan n
nC2 = 100C98
n . (n - 1) / 2! = 100 . 99 / 2!
n . (n - 1) = 100 . 99
n^2 - n = 9900
n^2 - n - 9900 = 0
(n - 100)(n + 99) = 0
n = 100 atau n = - 99
karena nilai n > 0 , maka n yang dipilih ialah n = 100
4. Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus. Banyak cara pengambilan :
a. sedikitnya terdapat 2 bola putih
b. terambilnya 3 bola yang berwarna sama
Jawaban :
bola merah : 6
bola putih : 4
akan diambil 3 bola sekaligus
banyak cara pengambilan :
a. sedikitnya terdapat 2 bola putih.
4C2 x 6C1
= 4!/(2!2!) x 6!/(5!1!)
= (4 . 3 . 2!)/(2!2!) x (6 . 5!)/5!
= 12/2! x 6
= 12/2 x 6
= 6 x 6
= 36
untuk kejadian 3 bola putih :
4C3
= 4!/(3!1!)
= 4 . 3! / 3!
= 4
jadi total kejadian sedikitnya terdapat 2 bola putih :
36 + 4
= 40
b. terambilnya 3 bola yang berwarna sama
6C3
= 6!/(3!3!)
= 6 . 5 . 4 . 3! / (3! 3!)
= 6 . 5 . 4 / 3!
= 120 / (3 . 2)
= 120 / 6
= 20
untuk kejadian 3 bola putih :
4C3
= 4!/(3!1!)
= 4 . 3! / 3!
= 4
jadi total kejadian pengambilan 3 bola dengan warna sama :
20 + 4
= 24
3. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibuat bilangan tiga angka berlainan antara 400 dan 750 Banyak bilangan yang dapat dibuat adalah…
Jawaban :
angka yang tersedia :
2 , 3 , 5, 6, 7, dan 9
akan dibuat tiga angka berlainan antara 400 dan 750, untuk menghitung banyak bilangan yang dibuat, akan dipecah menjadi :
untuk bagian > 400 dan < 500
2. Dari bandung Azmi ke Purwakarta bisa melewati 4 pintu toll yang berbeda dan dari Purwakarta bisa melewati 3 jalur yang berbeda kearah jakarta .Berapa banyak cara dia kembali lagi ke bandung dan melewati Purwakarta jika ia tidak menggunakan jalan yang sama lebih dari satu kali ?
Jawaban :
RUTE PERGI AZMI
BANDUNG ---- 4 toll (pilih 1) ---- PURWAKARTA ---- 3 jalur (pilih 1) ---- JAKARTA
RUTE PULANG AZMI
JAKARTA ---- 2 jalur (karena 1 jalur telah digunakan waktu pergi) --- PURWAKARTA ---- 3 toll (karena 1 toll telah digunakan waktu pergi) ---- BANDUNG
Maka, banyak cara dia kembali lagi ke bandung (lihat rute pulang azmi) :
= 2 x 3
= 6 cara
1. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Apabila calon ketua kelas ada 6 orang, calon sekretaris ada 4 orang, dan calon bendahara ada 3 orang, ada berapa susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk ?
Jawaban :
calon ketua kelas = 6 orang
calon sekretaris = 4 orang
calon bendahara = 3 orang
susunan pengurus yang mungkin terbentuk :
6C1 . 4C1 . 3C1
= 6!/5!1! . 4!/3!1! . 3!/2!1!
= 6/1 . 4/1 . 3/1
= 6 . 4 . 3
= 72 susunan
6. Jika dari 20 butir telur ayam tenyata 5 butir telur adalah busuk .
a. berapa banyak cara mengambil 2 butir telur dalam kondisi baik
b. berapa banyak cara mengambil jika 3 telur yang baik dan 3 telur yang busuk
Jawaban :
dari 20 butir telur :
telur busuk = 5 butir
telur kondisi baik = 15 butir
a. banyak cara mengambil 2 butir telur kondisi baik
15C2
= 15! / (13! 2!)
= 15 . 14 .13! / (13! 2!)
= 15 . 14 / 2!
= 15 . 14 / 2
= 15 . 7
= 105 cara
b. banyak cara mengambil jika 3 telur yang baik dan 3 telur yang busuk
15C3 x 5C3
= 15!/(12!3!) x 5!/(2!3!)
= 15 . 14 . 13 . 12! / (12! 3!) x (5 .4 3! / 2! 3!)
= 15 . 14 . 13 / 3! x (5 . 4 / 2!)
= 15 . 14 . 13 / (3 . 2) x (20 / 2)
= 5 . 7 . 13 x 10
= 455 x 10
= 4550 cara
5. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola biru. Tiga bola diambil dari kotak tersebut.
a. berapa banyak cara terambil 3 bola berwarna sama?
b. berapa banyak cara terambil paling sedikit satu bola merah .
Jawaban :
isi kotak :
bola merah = 5
bola putih = 4
bola biru = 3
3 bola diambil secara acak
a. banyak cara terambil 3 bola warna sama :
bola semua merah + bola semua putih + bola semua biru
= 5C3 + 4C3 + 3C3
= 5!/(3!2!) + 4!/(3!1!) + 3!/(3!0!)
= 5 . 4 . 3! / (3!2!) + (4 . 3!)/3! + 3!/3!
= 20/2 + 4/1 + 1
= 10 + 4 + 1
= 15
b. banyak cara terambil paling sedikit satu bola merah
total bola = 5 + 4 + 3 = 12
bola merah = 5
bola selain warna merah = 12 - 5 = 7
dari 3 bola yang diambil, akan dihitung banyak cara :
banyak cara untuk kejadian 1 bola merah + 2 bola warna lain :
5C1 x 7C2
= 5!/(1!4!) x 7!/(5!2!)
= 5 x (7 . 6 . 5! /5!2!)
= 5 x (42 / 2!)
= 5 x (42 / 2)
= 5 x 21
= 105
banyak cara untuk kejadian 2 bola merah + 1 bola warna lain
5C2 x 7C1
= 5!/(2!3!) x 7!/(6!1!)
= (5 . 4 . 3! / 2!3!) x 7
= (20 / 2!) x 7
= 20/2 x 7
= 10 x 7
= 70
banyak cara untuk kejadian 3 bola merah semuanya
5C3
= 5!/(3!2!)
= 5 . 4 . 3! / (3!2!)
= 20 / 2!
= 10
jadi banyak cara terambil paling sedikit satu bola merah :
105 + 70 + 10
= 185 cara
4. Diadakan rapat pembentukan panitia perpisahan yang dihadiri pengurus inti sebanyak 7 orang, mereka duduk mengelilingi meja .Ketua dan sekretaris selalu duduk berdampingan. Berapa banyak cara posisi duduk mereka ?
Jawaban :
terdapat 7 orang, ingin duduk melingkar dengan syarat KETUA dan SEKRETARIS selalu duduk berdampingan. Maka ketua dan sekretaris akan dihitung menjadi 1 entitas. sehingga, saat ini n = 6
untuk menghitung banyak cara posisi duduk melingkar, maka menggunakan permutasi siklis :
Psiklis = (n - 1)!
Psiklis = (6 - 1)!
Psiklis = 5!
Psiklis = 5 . 4 . 3 . 2 . 1
Psiklis = 120
banyak cara urutan ketua dan sekretaris duduk = 2!
maka bila digabungkan dengan posisi melingkar secara keseluruhan :
Psiklis x banyak cara ketua dan sekretaris duduk
= 120 . 2!
= 120 . 2
= 240
3. Hitunglah :
a. 1/(6 ! )+ 2/(8 !)- 3/(9 !) = . . .
b. C(n,2 ) = 105 ,tentukan nilai n
c. 10 P(n,4) = P(n,5) ,tentukan nilai n
Jawaban :
a. 1/(6 ! )+ 2/(8 !)- 3/(9 !)
= 1/6! + 2/(8 . 7 . 6!) - 3/(9 . 8 . 7 . 6!)
= (9 . 8 . 7)/(9 . 8 . 7 . 6!) + (2 . 9)/(9 . 8 . 7 . 6!) - 3/(9 . 8 . 7 . 6!)
= ((9 . 8 . 7)+ (2 . 9) - 3) /(9 . 8 . 7 . 6!)
= 519 / (9 . 8 . 7 . 6!)
= 519/9!
= 519/362880
b. C(n,2 ) = 105 ,tentukan nilai n
nC2 = 105
n!/2!(n - 2)! = 105
n . (n - 1) . (n - 2)! / (2 . (n - 2)!) = 105
n . (n - 1) / 2 = 105
n . (n - 1) = 210
n^2 - n = 210
n^2 - n - 210 = 0
(n - 15)(n + 14) = 0
n = 15 atau n = 14
karena n > 0, maka n yang dipilih : n = 15
c. 10 P(n,4) = P(n,5) ,tentukan nilai n
10 . nP4 = nP5
10 . n! / (n - 4)! = n! / (n - 5!)
10 / (n - 4)! = 1/ (n - 5)!
10 . (n - 5)! = (n - 4) !
10 . (n - 5)! = (n - 4) . (n - 5) !
10 = n - 4
10 + 4 = n
n = 14
13. Nilai lim x→2 (4 - x^2) / (3 - √(x^2 + 5)) adalah ... Jawaban :
